"Ne pas se laisser aller à quelque sentiment" est correct. L'extension "que ce soit" est possible, mais pas très élégante (d'autant qu'elle n'apporte rien de plus).
"Quelque"
"Quel que" c'est tout simplement "Quel" ou "Quelle". Il traduit un état variable. "Quelle qu'elle soit" = peu importe ce qu'elle est.
Ex: Quelle que soit cette chose, une terreur m'envahit.
Ce qui se traduirait par: Peu importe ce qu'elle est, un ourson ou un barbapapa, je suis prêt à souiller mon pantalon.
Dans ton cas, la première option serait plutôt:
"Il en était d’autant plus grave qu’il ne se permettait jamais de se laisser aller à un sentiment, quel qu'il soit."
Ou alors:
"Il en était d’autant plus grave qu’il ne se permettait jamais de se laisser aller à quelque sentiment."
Le sens est le même, cela dit.